System מערכת בינארית, עשרונית, אוקטלית והקסדצימאלית מה היא ואיך היא עובדת

אם אתה סטודנט למדעי המחשב, אלקטרוניקה או כל ענף הנדסי, אחד הדברים שאתה צריך לדעת זה לבצע המרות של מערכות מספור. בתחום המחשוב, מערכות המספור בהן נעשה שימוש שונות ממה שאנחנו מכירים באופן מסורתי, וכך גם המערכת העשרונית שלנו. זו הסיבה, יתכן מאוד, אם נקדיש את עצמנו לתחום המחשוב, התוכנות וגם הטכנולוגיה הדומה, נצטרך לדעת את המערכות המשומשות ביותר וכיצד לדעת כיצד להמיר ממערכת למערכת אחרת.

מדד התוכן

כיצד לבצע המרות של מערכות מספור

כדאי במיוחד להכיר את מערכת ההמרה Decimal to Binary ולהיפך, מכיוון שהיא מערכת המספור איתה רכיבי מחשב עובדים ישירות. אבל כדאי מאוד גם להכיר את המערכת ההקסדצימאלית, מכיוון שהיא משמשת למשל לייצוג קודי הצבע, המפתחות ומספר גדול של קודים מהצוות שלנו.

מערכות מספור

מערכת מספור מורכבת מייצוג של מערכת סמלים וכללים המאפשרים לנו לבנות את המספרים התקפים. במילים אחרות, זה מורכב משימוש בסדרה של סמלים מגבילים איתם ניתן יהיה ליצור ערכים מספריים אחרים ללא גבול כלשהו.

מבלי להרחיק יותר מדי למונחים מתמטיים של הגדרות, המערכות בהן משתמשים האדם והמכונות ביותר יהיו כדלקמן:

מערכת עשרונית

זוהי מערכת מספור עמדה בה הכמויות מיוצגות על ידי הבסיס האריתמטי של המספר עשר.

מכיוון שהבסיס הוא מספר עשר, תהיה לנו היכולת לבנות את כל הדמויות באמצעות עשרה מספרים שהם אלו שכולנו מכירים. 0, 1, 2 3, 4, 5, 6, 7, 8 ו- 9. המספרים הללו ישמשו לייצוג המיקום של הכוחות של 10 ביצירת מספר כלשהו.

אם כן, נוכל לייצג מספר באופן הבא במערכת המספור הזו:

אנו רואים שמספר עשרוני הוא הסכום של כל ערך על ידי הבסיס 10 המועלה למיקום-1 שכל אחד מהנושאים תופס. נקח זאת בחשבון עבור המרות במערכות מספור אחרות.

מערכת בינארית

המערכת הבינארית היא מערכת מספור בה משתמשים בבסיס האריתמטיקה 2. מערכת זו היא זו שמשמשת מחשבים ומערכות דיגיטליות באופן פנימי לצורך ביצוע כל התהליכים.

מערכת המספור הזו מיוצגת רק על ידי שתי ספרות, 0 ו -1, וזו הסיבה שהיא מבוססת על 2 (שתי ספרות).כל שרשראות הערך ייבנו איתה.

מערכת אוקטלית

בדומה להסברים הקודמים, אנו כבר יכולים לדמיין מה מדובר במערכת האוקטלית. המערכת האוקטלית היא מערכת המספור בה משתמשים בבסיס החשבון 8, כלומר יהיו לנו 8 ספרות שונות לייצוג כל המספרים. אלה יהיו: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ו- 7.

מערכת הקסדצימאלית

בעקבות ההגדרות הקודמות, מערכת המספור העשרוני היא מערכת מספור עמדה המבוססת על המספר 16. בנקודה זו נשאל את עצמנו, איך נקבל 16 מספרים שונים, אם למשל 10 הוא השילוב של שני מספרים שונה?

ובכן, פשוט מאוד, המצאנו אותם, לא אנחנו, אלא אלה שהמציאו את המערכת המדוברת. המספרים שיהיו לנו כאן יהיו: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E ו- F. זה עושה בסך הכל 16 מונחים שונים. אם אי פעם קבעת את הקוד המספרי של צבע יש לו מספור מסוג זה, וזו הסיבה שתראה כיצד לבן, למשל, מיוצג כערך FFFFFF. נראה מאוחר יותר מה המשמעות של זה.

המרה בין מערכת בינארית ועשרונית

מכיוון שהוא הבסיסי והקל ביותר להבנה, נתחיל בהמרה בין שתי מערכות המספור הללו.

המר מספר בין בינארי לעשרוני

כפי שראינו בסעיף הראשון, אנו מייצגים מספר עשרוני כסכום של הערכים כפול הכוח של 10 למיקום -1 שהוא תופס. אם נחיל זאת על מספר בינארי כלשהו, ​​עם הבסיס המתאים לו, יהיה לנו את הדברים הבאים:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5	1 · 2 4	1 · 2 3	1 · 2 2	1 · 2 1	1 · 2 0

אך כמובן שאם היינו מבצעים את הנוהל כמו במערכת העשרונית, היינו משיגים ערכים שאינם 0 ו- 1, שהם אלה שאנחנו יכולים לייצג רק במערכת המספור הזו.

אבל בדיוק זה יהיה מועיל מאוד לביצוע ההמרה למערכת העשרונית. בואו נחשב את התוצאה של כל ערך בתיבה שלו:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5 = 32	1 · 2 4 = 0	1 · 2 3 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	1 · 2 0 = 0

ובכן, אם נעשה את הסכום של הערכים הללו הנובעים מכל תא, נקבל את הערך המקביל של העשרון של הערך הבינארי.

הערך העשרוני של 100110 הוא 38

נאלצנו רק להכפיל את הספרה (0 או 1) בבסיסה (2) המוגבהת למצב 1 שהיא תופסת באיור. אנו מוסיפים את הערכים ויהיה לנו את המספר בעשרוני.

אם לא השתכנעת, נבצע כעת את התהליך ההפוך:

המר מספר עשרוני לבינארי

אם לפני שעשינו כפל של המספרים והסכום כדי לקבוע את הערך העשרוני, כעת מה שנצטרך לעשות הוא לחלק את המספר העשרוני בבסיס המערכת שאליה אנו רוצים להמיר אותו, במקרה זה 2.

נבצע נוהל זה עד שלא ניתן יהיה עוד לבצע חלוקה נוספת. בואו נראה את הדוגמא כיצד זה ייעשה.

מספר	38	19	9	4	2	1
חטיבה	÷ 2 = 19	÷ 2 = 9	÷ 2 = 4	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
לנוח	0	1	1	0	0	1

זו תוצאה של הפחתת החטיבות הרצופות למינימום. יתכן שכבר הבנת איך זה עובד. אם ניקח כעת את שאריות כל חלוקה ונפוך את מיקומה, נקבל את הערך הבינארי של המספר העשרוני. כלומר, התחלנו מהמקום בו סיימנו את החלוקה לאחור:

אז יש לנו את התוצאה הבאה: 100110

כפי שאנחנו יכולים לראות, הצלחנו להחזיק את אותו מספר בדיוק כמו בתחילת המדור.

המרה מספר עשרוני לשבר לבינארי

כידוע, אין רק מספרים עשרוניים שלמים, אלא אנו יכולים למצוא גם מספרים אמיתיים (שברים). וכמערכת מספור, צריך להיות אפשרי להמיר מספר מהמערכת העשרונית למערכת הבינארית. אנו רואים כיצד לעשות זאת. ניקח כדוגמה את המספר 38, 375

מה שעלינו לעשות זה להפריד בין כל אחד מהחלקים. אנו כבר יודעים לחשב את החלק השלם, כך שנלך ישירות לחלק העשרוני.

הנוהל יהיה כדלקמן: עלינו לקחת את החלק העשרוני ולהכפיל אותו בבסיס המערכת, כלומר 2. תוצאת הכפל עלינו להכפיל אותה שוב עד שנקבל חלק שברירי של 0. אם בעת ביצוע הכפל מופיע מספר סיעודי עם חלק שלם, נצטרך רק לקחת את השבר לכפל הבא. בואו נסתכל על הדוגמא כדי להבין אותה טוב יותר.

מספר	0.375	0.75	0.50
כפל	* 2 = 0.75	* 2 = 1.50	* 2 = 1.00
חלק שלם	0	1	1

כפי שאנחנו יכולים לראות, אנו לוקחים את החלק העשרוני ומכפילים אותו שוב עד שנגיע ל -1.00 שם התוצאה תהיה תמיד 0.

התוצאה של 38, 375 בבינארית תהיה אז 100 110, 011

אך מה קורה כאשר לעולם איננו יכולים להגיע לתוצאה של 1.00 בתהליך? בואו נראה את הדוגמא עם 38, 45

מספר	0.45	0.90	0.80	0.60	0.20	0.40	0.80
כפל	* 2 = 0.90	* 2 = 1.80	* 2 = 1.60	* 2 = 1.20	* 2 = 0.40	* 2 = 0.80	* 2 = 1.60
חלק שלם	0	1	1	1	0	0	1

כפי שאנו רואים , החל מ- 0.80 התהליך הופך להיות תקופתי, כלומר לעולם לא נסיים את התהליך מכיוון שהמספרים שבין 0.8 ל- 0.4 תמיד יופיעו. ואז התוצאה שלנו תהיה קירוב למספר העשרוני, ככל שנלך רחוק יותר, כך נקבל דיוק רב יותר.

אז: 38.45 = 100 110, 01110011001 1001…

בואו נראה כיצד לבצע את התהליך ההפוך

המרה מספר בינארי שברירי לעשרוני

תהליך זה יבוצע באותו אופן כמו שינוי הבסיס הרגיל, פרט לכך שהפסיק הכוחות יהיו שליליים. בואו ניקח את החלק השלם של המספר הבינארי הקודם:

0	1	1	1	0	0	1	...
0 · 2 -1 = 0	1 · 2 -2 = 0.25	1 · 2 -3 = 0.125	1 · 2 -4 = 0.0625	1 · 2 -5 = 0	1 · 2 -6 = 0	1 · 2 -7 = 0.0078125	…

אם נוסיף את התוצאות נקבל:

0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.0078125 = 0.4453

אם היינו ממשיכים לבצע פעולות היינו מתקרבים יותר ויותר לערך המדויק של 38.45

המרה בין מערכת אוקטלית למערכת בינארית

כעת נמשיך לראות כיצד לבצע את ההמרה בין שתי מערכות שאינן העשרוניות, לשם כך ניקח את המערכת האוקטלית והמערכת הבינארית ונבצע את אותה ההליך כמו בסעיפים הקודמים.

המר מספר בין בינארי לאוקטל

ההמרה בין שתי מערכות המספור היא פשוטה מאוד מכיוון שבסיס המערכת האוקטלית זהה למערכת הבינארית אך הועלה לעוצמה של 3, 2 ³ = 8. אז בהתבסס על זה, מה שאנחנו הולכים לעשות זה לקבץ את המונחים הבינאריים לקבוצות של שלוש המתחילות מימין לשמאל ולהמיר ישירות למספר עשרוני. בואו נראה את הדוגמא עם המספר 100110:

1	0	0	1	1	0
100	110
0 · 2 2 = 4	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	0 · 2 0 = 0
4	6

אנו מקבצים כל שלוש ספרות ועושים את ההמרה לעשרוניים. התוצאה הסופית תהיה 100110 = 46

אבל מה אם אין לנו קבוצות מושלמות של 3? לדוגמא 1001101, יש לנו שתי קבוצות של 3 ואחת מתוך 1, בואו נראה כיצד להמשיך:

0	0	1	0	0	1	1	0	1
001	100	110
0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1
1	1	5

בעקבות ההליך אנו לוקחים את הקבוצות מימין למונח וכשנגיע לסוף אנו מתמלאים בכמה שיותר אפסים. במקרה זה, היינו זקוקים לשניים להשלמת הקבוצה האחרונה. אז 1001101 = 115

המר מספר אוקטלי לבינארי

ובכן, הנוהל פשוט כמו לעשות את ההפך, כלומר לעבור מבינארי לעשרוני בקבוצות של 3. בואו נראה את זה עם המספר 115

ערך	1	1	5
חטיבה	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
לנוח	1	0	0	1	0	0	1	0	1
קבוצה	001	001	101

בדרך זו אנו רואים כי 115 = 001001101 או מה זה אותו 115 = 1001101

המרה בין מערכת אוקטלית למערכת עשרונית

כעת נראה כיצד לבצע את ההליך של מעבר ממערכת המספרים האוקטלית לעשרונית ולהיפך. נראה כי ההליך זהה לחלוטין למקרה של המערכת העשרונית והבינארית, רק עלינו לשנות את הבסיס ל 8 במקום 2.

אנו נבצע את הנהלים ישירות עם מונחים עם חלק שברירי.

המר מספר עשרוני לאוקטלי

על פי נוהל השיטה העשרונית-בינארית אנו נבצע אותה בדוגמה של 238.32:

חלק שלם. אנו מחלקים לפי הבסיס, שהוא 8:

מספר	238	29	3
חטיבה	÷ 8 = 29	÷ 8 = 3	-
לנוח	6	5	3

חלק עשרוני, אנו מכפילים את הבסיס, שהוא 8:

מספר	0.32	0.56	0.48	0.84	0.72	…
כפל	* 8 = 2.56	* 8 = 4.48	* 8 = 3.84	* 8 = 6.72	* 8 = 5.76	…
חלק שלם	2	4	3	6	5	…

התוצאה המתקבלת היא כדלקמן: 238.32 = 356.24365…

המר מספר אוקטלי לעשרוני

ובכן, בואו נעשה את התהליך ההפוך. בואו נעביר את המספר האוקטלי 356, 243 לעשרוני:

3	5	6	,	2	4	3
3 · 8 2 = 192	5 · 8 1 = 40	6 · 2 0 = 6		2 · 8 -1 = 0.25	4 · 8 -2 = 0.0625	3 · 8 -3 = 0.005893

התוצאה: 192 + 40 + 6, 0.25 + 0.0625 + 0.005893 = 238.318

המרה בין מערכת הקסדצימלית למערכת עשרונית

לאחר מכן נסיים בתהליך ההמרה בין מערכת המספור ההקסדצימלי למערכת העשרונית.

המר מספר עשרוני להקסדצימלי

על פי נוהל השיטה העשרונית-בינארית והעשרונית -אוקטלית אנו נבצע אותה בדוגמה של 238.32:

חלק שלם. אנו מחלקים בבסיס שהוא 16:

מספר	238	14
חטיבה	÷ 16 = 14	-
לנוח	ה	ה

חלק עשרוני, אנו מכפילים את הבסיס שהוא 16:

מספר	0.32	0.12	0.92	0.72	0.52	…
כפל	* 16 = 5.12	* 16 = 1.92	* 16 = 14.72	* 16 = 11.52	* 16 = 8.32	…
חלק שלם	5	1	ה	ב	8	…

התוצאה המתקבלת היא כדלקמן: 238.32 = EE, 51EB8…

המרת המספר מהקסדצימאלי לעשרוני

ובכן, בואו נעשה את התהליך ההפוך. בואו נעביר את המספר ההקסדצימאלי EE, 51E לעשרוני:

ה	ה	,	5	1	ה
E16 1 = 224	E · 16 0 = 14		5 · 16 -1 = 0.3125	1 · 16 -2 = 0.003906	E16 -3 = 0.00341

התוצאה: 224 + 14, 0.3125 + 0.003906 + 0.00341 = 238.3198…

ובכן אלה הדרכים העיקריות לשנות את הבסיס ממערכת מספור אחת לאחרת. המערכת חלה על מערכת בכל בסיס ומערכת עשרונית, אם כי אלה הנפוצות ביותר בתחום המחשוב.

אתה עשוי להתעניין גם ב:

אם יש לך שאלות, השאר אותם בתגובות. אנו ננסה לעזור לך.